30.8 - À propos du problème du mois : distance angulaire et distance métrique

Considérons deux points A et B de la surface de la terre supposée être une sphère parfaite de centre O. On appelle distance angulaire de A à B l’angle non orienté entre les rayons OA et OB. Cet angle noté p est compris entre 0 et 180°. La distance métrique notée d de A à B est la distance entre A et B mesurée en mètres sur le grand cercle de la sphère passant par les points A et B. Cette distance est donc comprise entre 0 et 20 000 km (le tour de la terre mesurant 40 000 000 m par définition du mètre). Le lien entre p et d est donné par la formule : 1 000 x p = 9 x d (p en degrés et d en kilomètres). Ainsi, par exemple, si A et B sont distants de p = 1’ (i.e. 1 minute d’arc ou un soixantième de degré d’angle), leur distance métrique est d = 1/9 x 1000 x 1/60 = 1,852 km ou 1 852 m soit par définition 1 mille nautique international.

LA LATITUDE :
On appelle latitude d’un point A de la surface de la terre l’angle noté L(A) que fait la verticale au point A (ie. le rayon OA) avec le plan de l’équateur. Cet angle est compris entre 0 et 90°. On doit préciser en plus la nature de l’hémisphère (nord : N, ou sud : S), auquel il se réfère. La distance angulaire a du point A au pôle nord P (i.e. l’angle entre les rayons OA et OP), est sa colatitude. Si L(A) est la latitude de A alors on a : a = 90 - L(A) pour l’hémisphère nord et a = 90 + L(A) pour l’hémisphère sud. Cet angle est compris entre 0 et 90° pour l’hémisphère nord et entre 90 et 180° pour l’hémisphère sud.

LA LONGITUDE :
On appelle longitude d’un point A de la surface de la terre l’angle noté l(A) que fait le plan du méridien passant par le point A (c’est-à-dire le plan du grand cercle de la sphère passant par les points A et P) avec le plan du méridien de Greenwitch pris arbitrairement comme méridien origine. Cet angle est compris entre 0 et 180°. On doit préciser en plus la situation du point A relativement à Greenwitch : à l’ouest (W) ou à l’est (E).

UN DÉBUT DE SOLUTION :
Considérons 2 points A et B pris sur la surface de la terre. Ils définissent avec le pôle nord P un triangle dit sphérique et noté APB. L’angle au sommet P de ce triangle, est défini comme l’angle (encore) noté q compris entre 0 et 180° entre les plans des méridiens passant respectivement par A et B.

• Si A et B sont du « même côté » relativement à Greenwitch (c’est-à-dire tous les deux à l’ouest ou tous les deux à l’est) on a : q = | l(A) - l(B) |,
• si A et B sont de « chaque côté » relativement à Greenwitch (c’est-à-dire l’un à l’ouest et l’autre à l’est) avec 0° < l(A) + l(B) < 180° alors on a : q = l(A) + l(B) et
• si A et B sont de « chaque côté » relativement à Greenwitch avec 180° < l(A) + l(B) < 360° alors on a : q = 360 - [ l(A) + l(B) ].

Connaissant les distances angulaires a de P à A et b de P à B (c’est-à-dire les colatitudes de A et B respectivement) ainsi que l’angle q au sommet P du triangle sphérique APB on en déduit la distance angulaire p de A à B à l’aide de la relation fondamentale de trigonométrie sphérique pour la résolution des triangles sphériques : cos(p) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)cos(q). D’où ensuite la distance métrique de A à B.