06.5 - Le problème du mois : les grimpeurs

Rappel des faits :
Marc et Sabine sont au mur d’escalade et Marc a équipé une voie avec de la Rivory Virus à 8 % d’allongement pour 80 kg (on supposera l’allongement proportionnel à la masse). Sabine monte en « moulinette » et Marc l’assure sur son Huit d’escalade à 2 m du mur avec une assurance souple (l’équivalent de 1 m de mou dans la corde). Considérant que Sabine pèse 60 kg (à vue de nez...), que le mur mesure 15 m de haut et que le Huit de Marc est à 1 m du sol, quelle hauteur Sabine doit-elle atteindre pour que, si elle tombe, elle ne touche pas le sol ?

Traductions mathématiques des données :

• la distance LS vaut 15 m,
• la distance HH’ vaut 2 m,
• la distance LH’ vaut 1 m.
• Sabine pèse 60 kg donc sous son poids la corde s’allongera de 6 % car l’allongement est proportionnel à la masse et il est de 8 % pour 80 kg.

(voir la figure plus bas)

Avant la chute :
La longueur totale de corde est donc : T = 1 + HS + SA (car il ne faut pas oublier le « mou » dans la corde).
Par propriété de Pythagore dans le triangle SHH’ rectangle en H’ on a :

• HH’² + SH’² = HS² .
• or : SH’ = LS - LH’ = 15 - 1 = 14 ,
• d’où : HS² = 22 + 142 = 4 + 196 = 200 ,
• et donc : HS = RAC(200) = 14,14 à 1 cm près,
• on obtient : T = 1 + HS + SA = 1 + RAC(200) + SA = 15,14 + SA .

Après la chute :

• L’allongement de la corde est de 6 % de la longueur avant la chute soit 6 % x T .
• La longueur totale de corde T’ après allongement est donc :
  T’ = T + 6% x T = (1 + 6%) x T = 1,06 T = 1,06 x (1 + RAC(200) + SA) .

Bilan :
Il faut que la longueur T’ soit inférieure à la longueur de corde maximale possible, à savoir inférieure à la somme de la hauteur du mur et de la longueur HS c’est-à-dire inférieure à LS + HS !

Or LS + HS = 15 + RAC(200) .
Donc il faut résoudre : T’ < LS + HS
c’est-à-dire : 1,06 x (1 + RAC(200) + SA) < 15 + RAC(200) ,

doù : 1 + RAC(200) + SA < (15 + RAC(200)) / 1,06 ,

ce qui donne : SA < (15 + RAC(200)) / 1,06 - 1 - RAC(200) ,

soit : SA < (13,94 - 0,06xRAC(200)) / 1,06 , ou au cm près : SA < 12,35 .

Donc Sabine doit être au moins à 2,65 m du sol à 1 cm près !